Wechselstromquelle (Teil 3)

Wir haben bereits eine Sinusschwingung mithilfe eines DACs erzeugt. Dieses Mal probieren wir sie aus einer Rechteckschwingung zu erzeugen.

Von Rechteck- zu Sinusschwingung

Wie wir im letzten Teil dieses Projekts gesehen haben, ist es möglich, eine Sinusschwingung mithilfe eines DACs zu erzeugen. Es gibt jedoch mehr als eine Möglichkeit, eine Sinusschwingung zu erzeugen. Heute werden wir uns einen anderen Weg und dessen Vor- und Nachteile ansehen. Wir beginnen mit der Erzeugung einer Rechteckwelle, bevor wir uns mit Filtern beschäftigen und wie diese zur Umwandlung einer Rechteck- in eine Sinusschwingung verwendet werden können.

Erzeugen des Rechtecksignals

Im letzten Teil dieses Projekts mussten wir viel Aufwand betreiben, bevor wir ein Sinussignal mit der gewünschten Frequenz erzeugen konnten. Das Erzeugen eines Rechtecksignals ist viel einfacher.

Es gibt viele Möglichkeiten, ein Rechtecksignal mit dem Arduino Uno zu erzeugen. Die erste Methode, die einem in den Sinn kommt, ist die Verwendung von PWM. Allerdings gibt es dabei ein Problem: Die Arduino Befehle erlauben es nicht, die PWM-Frequenz anzugeben. Nur der Tastgrad (Duty Cycle) kann eingestellt werden. Die zweite Methode, die es uns erlaubt, eine Rechteckwelle zu erzeugen, ist die Verwendung der tone-Prozedur. Diese Methode erlaubt es uns, die Frequenz vorzugeben. Das einzige Problem ist, dass die tone-Prozedur nur ein Rechtecksignal mit einer Frequenz von mehr als 31 Hz erzeugen kann. Für Frequenzen oberhalb dieses Wertes funktioniert die Verwendung von tone einwandfrei. Eine andere Möglichkeit ist, einfach einen Pin an- und auszuschalten. Dies können wir nutzen, um auch langsame Ausgangsfrequenzen zu unterstützen. Dazu werden wir den Code aus dem letzten Teil unseres Projekts anpassen.

Der angepasste Code ist viel einfacher. Es ist nicht nötig, irgendetwas vorauszuberechnen, da wir nur zwei mögliche Werte haben: HIGH und LOW. Wir müssen nur die gewünschte Frequenz abfragen und die Wartezeit zwischen dem Umschalten des Zustandes des Ausgangspins für unsere Loop-Prozedur berechnen. Da wir nur zwei Werte haben, müssen wir dies in jeder Periode zweimal tun. Ich habe dabei Pin 9 als Ausgangspin für das Rechtecksignal verwendet.

Der angepasste Code sieht dann wie folgt aus:

#include <EEPROM.h>

unsigned long usPerStep;
unsigned long start_time;
bool state = LOW;

// Setup frequency
void setup() {
  // Read desired frequency
  Serial.begin(9600);
  Serial.print("Enter Frequency (Hz): ");

  // Wait 10s for input otherwise take stored value
  Serial.setTimeout(10000);
  float frequency = Serial.parseFloat();
  if(frequency == 0) EEPROM.get(0, frequency);
  else EEPROM.put(0, frequency);

  Serial.println(frequency);

  // Time per Step
  usPerStep = 1000000 / (frequency * 2);
  
  // Initially set start time
  pinMode(9, OUTPUT);
  start_time = micros();
}

void loop() {
  digitalWrite(9, state);
  state = !state;
  
  while(micros()-start_time < usPerStep);
  start_time += usPerStep;
}

Die Theorie

Das Arduino-Programm erlaubt uns, eine Rechteckschwingung mit einer konfigurierbaren Frequenz zu erzeugen. Die Frage, die bleibt, ist, wie wir dieses in eine Sinusschwingung umwandeln können. Um zu verstehen, wie das funktionieren soll, brauchen wir ein wenig Theorie. Um genauer zu sein, müssen wir einen kurzen Blick auf das Thema der Harmonische Analyse werfen.

Die harmonische Analyse ist eine mathematische Disziplin, die sich damit beschäftigt, komplexe Signale als eine Zusammensetzung von harmonischen Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen, Phasenverschiebungen und Amplituden darzustellen. Sie erlaubt uns also auch, ein Signal in seine Frequenzkomponenten zu zerlegen, was auch unter dem Begriff Fourier-Analyse bekannt ist. Warum ist das für uns interessant? Nun, eine harmonische Schwingung ist eine Schwingung, die mit einer Sinuswelle beschrieben werden kann und eine Sinuswelle ist das, was wir erzeugen wollen. Unser erzeugtes Rechtecksignal kann auch durch mehrere kombinierte Sinusschwingungen dargestellt werden. Genauer gesagt besteht es aus Harmonischen ungerader Ordnung.

Eine Harmonische ist eine Schwingung mit einer Frequenz, die ein echtes Vielfaches der Grundfrequenz ist. Bei einem 50-Hz-Signal ist diese Grundfrequenz die 1. Harmonische. Die zweite Harmonische, auch erste Oberwelle genannt, liegt bei 100 Hz. Die dritte Harmonische liegt bei 150 Hz. Da sich ein Rechtecksignal nur aus Harmonischen ungerader Ordnung zusammensetzt, bedeutet dies, dass die zweite Harmonische eine Amplitude von 0 V hat. Für die Harmonischen ungerader Ordnung nimmt die Amplitude mit jeder Harmonischen ab. Für die Harmonische 3. Ordnung beträgt die Amplitude nur noch ein Drittel der Amplitude der Harmonischen 1. Ordnung. Für die Harmonische 5. Ordnung ist es nur noch ein Fünftel und so weiter.

Wenn wir die ersten fünf ungeraden Harmonischen addieren, wie im Bild unten gezeigt, erhalten wir etwas, das einer Rechteckschwingung schon sehr ähnlich sieht. Wenn wir weitere Harmonische hinzufügen, kommen wir unserer ursprünglichen Rechteckschwingung immer näher.

Was können wir mit diesem Wissen anfangen? Nun, um eine Rechteckschwingung in eine Sinusschwingung umzuwandeln, müssen wir nur die Harmonischen höherer Ordnung entfernen und würden am Ende eine perfekte Sinusschwingung erhalten. Dies kann mithilfe eines Tiefpassfilters erreicht werden. Ein Tiefpassfilter unterdrückt Signale oberhalb einer bestimmten Frequenz, während Signale mit niedrigeren Frequenzen durchgelassen werden.

RC-Tiefpassfilter

Für unseren Zweck werden wir einen einfachen RC-Tiefpassfilter verwenden. Ein RC-Tiefpassfilter ist eine verhältnismäßig einfache Schaltung. Wie im untenstehenden Schaltplan dargestellt, besteht sie nur aus einem Kondensator (C) und einem Widerstand (R).

Wie funktioniert diese Schaltung?

Bei einer Gleichspannung lädt sich der Kondensator auf, bis er die Eingangsspannung erreicht und hat danach keine Auswirkungen mehr. Kommt es jedoch zu einer Spannungsänderung, wirkt der Kondensator dieser entgegen. Wenn z. B. eine Last kurzzeitig mehr Leistung benötigt, als das Netzteil bereitstellen kann, wird diese durch den Kondensator bereitgestellt und so ein Absinken der Versorgungsspannung verhindert. Sehr häufig werden Kondensatoren als ebensolch ein Puffer eingesetzt.

Bei Signalen mit einer sich ständig ändernden Spannung wie unserer Rechteckschwingung sehen die Dinge ein wenig anders aus. Der Kondensator wird ständig geladen und entladen und wirkt den Spannungsänderungen ständig entgegen. Während des Ladens und Entladens scheint es, als ob ein Strom durch den Kondensator fließen würde. Tut er aber nicht, die Elektronen fließen in den Kondensator hinein, während er geladen wird, und später wieder heraus, wenn er entladen wird.

Das Laden und Entladen des Kondensators ist nichts, was sofort passiert, zumal der Strom durch den Widerstand begrenzt wird. Es dauert deshalb einige Zeit, bis die Ausgangsspannung der Eingangsspannung entspricht. Ändert sich die Eingangsspannung mit einer hohen Frequenz, kann sich der Kondensator nicht vollständig aufladen, bis er wieder entladen wird. Bei hohen Frequenzen ist die Ausgangsspannung deshalb kleiner als die Eingangsspannung. Das Signal wird abgeschwächt. Bei niederfrequenten Signalen ist dies nicht der Fall. Der Kondensator hat genügend Zeit, sich vollständig zu laden und zu entladen. Für Wechselstromsignale wirkt ein RC-Tiefpassfilter wie ein frequenzabhängiger Spannungsteiler.

Wenn man diesen Effekt quantitativ, also mathematisch beschreiben möchte, kann man ein Maß verwenden, das als Impedanz bezeichnet wird. Die Impedanz ist ein Maß für den Widerstand, den ein Stromkreis dem Stromfluss entgegensetzt. In die Impedanz geht jedoch nicht nur der Widerstand des Widerstandes ein, sondern bei Wechselstromsignalen auch der Scheinwiderstand des Kondensators. Ihr Wert ist frequenzabhängig. Mit der Impedanz können wir ähnliche Berechnungen durchführen, wie wir sie in Gleichstromschaltungen für normale Spannungsteiler durchgeführt haben. Sie sind jedoch etwas schwieriger, da die Impedanz als komplexe Zahl angegeben wird. Wenn man Berechnungen in Wechselstromkreisen durchführen möchte, sind komplexe Zahlen dabei ein sehr nützliches Werkzeug, auch wenn sie komplizierter zu handhaben sind.

Für den Zweck unseres Projekts benötigen wir keine dieser komplexen Berechnungen, solange wir das Ausgabesignal unseres Filters nicht vorhersagen wollen. Für den Entwurf unserer einfachen Filterschaltung können wir mit einem viel einfacheren Maß arbeiten: der Grenzfrequenz.

Die Grenzfrequenz

Die Grenzfrequenz kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
\(f_{c} = {1 \over {2 \pi R C}}\)

Die Grenzfrequenz ist definiert als die Frequenz, bei der die Leistung des Ausgangssignals die Hälfte der Leistung des Eingangssignals beträgt. Was bedeutet dies für die Spannung? Die elektrische Leistung kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
\(P = {U^2 \over R}\)

Wenn wir diese Formel für \(U\) auflösen, erhalten wir Folgendes:
\(U = \sqrt{P \cdot R}\)

Aus dieser Formel können wir ersehen, dass für die halbe Leistung die Ausgangsspannung \(\sqrt{1 \over 2} = {1 \over \sqrt 2}\) mal so hoch ist wie die Eingangsspannung. Wenn 1 V die Effektivspannung eines Signals ist, dessen Frequenz der Grenzfrequenz entspricht, beträgt die Ausgangsspannung 0,71 V.

Der Faktor zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung wird auch als Spannungsverstärkung bezeichnet:
\(A_u = {U_{out} \over U_{in}}\)

In ähnlicher Weise kann die Leistungsverstärkung für die Leistung berechnet werden.

Ein Verstärkungsfaktor größer als 1 bedeutet, dass das Signal verstärkt wird, ein Verstärkungsfaktor unter 1 bedeutet, dass es gedämpft wird. Unser RC-Tiefpassfilter ist ein passives Filter, d. h. es sind keine Komponenten enthalten, die ein Signal verstärken würden. Aus diesem Grund ist der Verstärkungsfaktor nie größer als 1. Die Verstärkung wird oft als logarithmischer Wert dargestellt. Dies gilt insbesondere für Audiosignale, von denen wir die Einheit Dezibel (dB) kennen, die z. B. verwendet wird, um die Ausgangsleistung oder Lautstärke eines Lautsprechers zu beschreiben. Eine Erhöhung um 10 dB entspricht einer zehnmal höheren Leistung. Eine Halbierung der Leistung entspricht einer Änderung von -3 dB.

Für die Leistung kann die Verstärkung in Dezibel mit der folgenden Formel berechnet werden:
\(a_p = 10 \log10({P_{out} \over P_{in}}) dB\)

Wir können auch die Spannungen verwenden, um die Verstärkung direkt zu berechnen. In diesem Fall ist die Formel ein wenig anders, um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass die Leistung quadratisch mit der Spannung ansteigt.
\(a_u = 20 \log10({U_{out} \over U_{in}}) dB\)

Die Verwendung einer logarithmischen Skala ist immer dann sinnvoll, wenn sich ein Wert nicht linear ändert und wir in der Lage sein wollen, sehr große und sehr kleine Werte zusammen darzustellen. Hinzu kommt, dass Filter häufig in Audioanwendungen verwendet werden, wo die Verwendung von Dezibel ohnehin üblich ist. Der Grund dafür ist, dass auch die menschliche Schallwahrnehmung nicht linear ist. Für den Menschen erscheint die zehnfache Ausgangsleistung (+ 10 dB) nur doppelt so laut. Für unseren Anwendungsfall spielt das keine Rolle, aber ich werde trotzdem bei der Konvention bleiben und die Verstärkung in Dezibel ausdrücken.

Die folgenden Diagramme zeigen den Verstärkungsfaktor (Gain) für einen RC-Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz von etwa 72 Hz. Das rechte Diagramm verwendet eine logarithmische Skala und das linke eine lineare Skala. Wie man sieht, sind die kleineren Spannungsänderungen bei höheren Frequenzen auf der logarithmischen Skala deutlich besser sichtbar.

Der RC-Filter in der Praxis

Genug der Theorie, lass uns nun unseren ersten RC-Tiefpassfilter bauen. Wie besprochen, wollen wir die Harmonischen höherer Ordnung aus dem Rechtecksignal entfernen. Dazu benötigen wir eine Widerstands- und Kondensatorkombination, die einen Filter mit einer Grenzfrequenz zwischen der Grundfrequenz und der ersten Oberschwingung bildet. Es ist dabei nicht möglich, einen Filter zu bauen, der gleichzeitig für mehrere verschiedene Frequenzen funktioniert. Für eine 1-Hz-Rechteckwelle benötigen wir eine Grenzfrequenz zwischen 1 Hz und 3 Hz. Für 50 Hz hingegen benötigen wir die Grenzfrequenz zwischen 50 Hz und 150 Hz. Die Bauteilwerte müssen an die Frequenz unseres Rechtecksignals angepasst werden. Das bedeutet, dass wir die Möglichkeit verlieren, die Frequenz einzustellen, ohne die Schaltung zu verändern. Ein klarer Nachteil im Vergleich zu unserer bisherigen Lösung mit dem DAC.

Lass uns trotzdem weitermachen und die Schaltung für eine Frequenz von 50 Hz aufbauen. Theoretisch gibt es eine unbegrenzte Anzahl von Widerstands- und Kondensatorkombinationen, um ein RC-Tiefpassfilter mit einer bestimmten Grenzfrequenz zu bauen. Wir sind jedoch auf die üblicherweise verfügbaren Widerstands- und Kapazitätswerte beschränkt. Außerdem können die GPIO-Pins des Arduino nur eine begrenzte Menge an Strom liefern. Wir müssen sicherstellen, dass wir den Widerstandswert hoch genug wählen, sodass der Arduino nicht durch den Strom beschädigt wird, der fließt, während sich der Kondensator auflädt. Da der Arduino mit 5 V arbeitet und die Pins bis zu 40 mA Strom liefern können, sollte ein Widerstandswert größer 125 Ω in Ordnung sein. Ein weit häufigerer Wert in Arduino-Bausätzen ist jedoch 220 Ω, da dieser Widerstandswert zur Begrenzung des Stroms für LEDs verwendet wird. Bei diesem Widerstandswert können wir mit einem Kondensator mit einer Kapazität von 10 uF eine Grenzfrequenz im gewünschten Frequenzbereich erreichen.

Die Grenzfrequenz dieses Filters ist:
\(f_c = {1 \over {2 \pi R C}} = {1 \over {2 \pi \cdot 220 Ω \cdot 10 uF}} \approx 72 Hz\)

Dies ist auch der Filter, der zum Amplitudengang gehört, den ich zuvor gezeigt habe.

Wenn wir die echte Schaltung aufbauen, müssen wir auch den Spannungsteiler und unsere 10 kΩ Last einbauen, über die wir die Spannung mit einem Oszilloskop messen. Die vollständige Schaltung ist unten dargestellt. Wie du vielleicht bemerkt hast, habe ich den Minuspol der Elektrolytkondensatoren direkt mit Masse verbunden und nicht mit dem Ausgang unseres Spannungsteilers. Elektrolytkondensatoren können leicht beschädigt werden, wenn sie verpolt werden. Sie sind nicht die beste Wahl für AC-Schaltungen. In unserem Fall verwenden wir jedoch keine echte Wechselstromversorgung. Wir verwenden einen Spannungsteiler, um den Massepegel zu verschieben, und indem wir den Kondensator direkt mit Masse und nicht mit dem Spannungsteiler verbinden, können wir sicherstellen, dass die Polarität immer korrekt ist.

Wie verhält sich unser Filter in der Praxis? Nun, wie man im Bild unten sehen kann, ist unser Ausgangssignal nicht gerade das, was man als Sinusschwingung bezeichnen würde.

Was ist passiert? Eine Möglichkeit, das Ergebnis zu interpretieren, ist zu sagen, dass wir sehen, wie sich der Kondensator auflädt und entlädt. Das ist genau das, was passiert und so sieht es eben aus. Was uns jedoch eigentlich interessiert, sind die Oberschwingungen, die wir aus dem Rechtecksignal entfernen wollten, und die Frage warum wir keine Sinusschwingung erhalten haben. Welche Frequenzanteile sind in unserem gefilterten Signal noch vorhanden? Die Grafik unten zeigt uns, dass die Harmonischen höherer Ordnung zwar stark abgeschwächt wurden, aber immer einen geweeisen Teil unseres Signals ausmachen. Sie sind der Grund dafür, dass unser Ausgangssignal so aussieht, wie es aussieht.

Wenn wir uns ansehen wollen, wie sich unser Ausgangssignal aus diesen einzelnen Frequenzanteilen zusammensetzt, benötigen wir mehr als nur deren Amplituden. Das Bild unten zeigt die ersten fünf Harmonischen und die resultierende Kurve, wenn sie zusammengesetzt werden. Es ist leicht zu erkennen, dass wir das Signal erhalten würden, das wir im Oszilloskop gesehen haben, wenn wir alle Harmonischen berücksichtigen. Es gibt aber noch eine weitere Sache, die zu beachten ist: Die einzelnen Signale sind gegeneinander verschoben. Diese sogenannte Phasenverschiebung wird durch den Kondensator in unserem RC-Filter verursacht und ist ebenfalls frequenzabhängig. Durch diese Phasenverschiebung ist unser Signal nicht mehr symmetrisch.

All diese Details sind nicht wirklich wichtig. Was zählt, ist, dass wir in der Theorie aus dem Signal immer noch eine Sinuskurve erhalten könnten. Unser Filter ist nur einfach nicht gut genug dafür. Er dämpft die Harmonischen höherer Ordnung nicht stark genug ab.

Filter höherer Ordnung

Filter, die mehr Dämpfung bieten als ein einfacher RC-Tiefpassfilter, werden als Filter höherer Ordnung bezeichnet. Eine sehr einfache Möglichkeit, einen solchen Filter höherer Ordnung zu bauen, besteht darin, mehrere RC-Tiefpassfilter miteinander zu verketten. Das ist ein sehr einfacher Weg, aber sicher nicht der beste. Jede Filterstufe, die wir hinzufügen, wirkt sich auch auf die anderen aus und die Harmonische erster Ordnung, die wir zu extrahieren versuchen, wird auch immer mehr abgeschwächt. Wenn wir das Ganze richtig machen wollten, bräuchten wir einen Verstärker zwischen den einzelnen Stufen, damit sich die Filterstufen nicht gegenseitig beeinflussen und das Signal nicht zu stark gedämpft wird.

Der Einfachheit halber bleiben wir bei der einfachen Version eines RC-Tiefpassfilters 3. Ordnung und schalten, wie im Bild unten gezeigt, einfach drei RC-Filter hintereinander.

Die Berechnung des Ausgangssignals dieses Filters ist wesentlich schwieriger als die des Filters 1. Ordnung, da berücksichtigt werden muss, wie sich die Filterstufen gegenseitig beeinflussen. Der Einfachheit halber werden wir keine neuen Bauteilwerte ermitteln und auch nicht die neue Grenzfrequenz bestimmen. Wir bauen einfach die Schaltung, wie im Bild unten gezeigt, mit drei identischen Filterstufen auf und schauen, was passiert.

Das Ergebnis

Das Bild unten zeigt das Ausgangssignal unseres RC-Tiefpassfilters dritter Ordnung. Es ist noch nicht perfekt, aber es ist fast eine Sinuswelle.

Ist diese Lösung den Aufwand wert? Nun, das Ausgangssignal hat eine Amplitude von unter 1 V. Das sieht nicht sonderlich gut aus im Vergleich zu den vollen 2,5 V, die wir mit dem DAC erreichen könnten. Ähnlich wie beim DAC können wir mit dieser Schaltung nicht viel Leistung für den Wechselstromkreis bereitstellen. Wir bräuchten definitiv eine zusätzliche Verstärkerstufe, um nicht nur die Spannung, sondern auch den Strom zu erhöhen, den wir im Wechselspannungsteil unserer Schaltung bereitstellen können.

Hat diese Methode auch Vorteile? Ja, das hat sie. Der wohl größte Vorteil ist, dass sie auch bei hohen Frequenzen funktioniert, bei denen die Verwendung des DACs nicht infrage kommt. Außerdem brauchen wir nicht unbedingt einen Mikrocontroller, stattdessen könnte eine viel einfachere Oszillatorschaltung verwendet werden. Ein Rechtecksignal ist zudem viel einfacher zu handhaben. Wir könnten das Ausgangssignal des Arduinos in eine MOSFET-Verstärkerstufe einspeisen und dann den Filter für höhere Ausgangsströme abändern. Wir könnten die Leistung dieser Lösung weiter verbessern, wenn wir uns von der Idee lösen, eine perfekte Sinuswelle erzeugen zu wollen und einfach einige Verzerrungen in Kauf nehmen. Es ist nicht so, dass diese Lösung unbrauchbar ist, das Problem ist sie passt nicht zum Ziel unseres Projekts. Was diese Lösung für uns wirklich zu einem No-Go macht, ist die Tatsache, dass wir die Möglichkeit verloren haben, die Ausgangsfrequenz zu konfigurieren, was eines unserer Ziele war.

Können wir diese Lösung verbessern, indem wir die Werte der Bauteile anpassen? Ja, das können wir - zumindest bis zu einem gewissen Grad. Allerdings liegen die erste und die dritte Harmonische zu nahe beieinander, als dass man einfache Filter verwenden könnte, ohne das gesamte Signal zu dämpfen. Filter lassen sich viel einfacher einsetzen, wenn die Frequenzen, die wir herausfiltern müssen, deutlicher von dem Signal abweichen, das wir beibehalten wollen. Das ist bei der nächsten Methode, die ich vorstellen werde, der Fall. Aber wenn du willst, kannst du versuchen, die Bauteilwerte für diese Lösung mit dem untenstehenden Tool zu optimieren. Es berechnet das ungefähre Ausgangssignal des Filters. Es geht dabei von einer Last von 10 kΩ aus. Der Einfachheit halber ignoriert es die Existenz des Spannungsteilers, den wir zum Verschieben des Massepegels verwendet haben.

Tool: Ungefähres Ausgangssignal des RC-Filters