Das ohmsche Gesetz

Beim Thema "Widerstände", kommen wir nicht um das ohmsche Gesetz herum, das den Zusammenhang von Strom, Spannung und Widerstand aufzeigt.

Das ohmsche Gesetz

George Simon Ohm war ein deutscher Physiker, der von 1788 bis 1854 lebte. Er war der Erste, der in der Lage war, die Beziehung zwischen Strom, Spannung und Widerstand schlüssig zu beschreiben. Ihm zu Ehren ist die von ihm entdeckte Formel bis heute als ohmsches Gesetz bekannt. Was Ohm gemacht hat, war im Grunde eine Reihe von Messungen, um den mathematischen Zusammenhang zwischen der angelegten Spannung und der entsprechenden, die dann durch ein Stück Draht fließt, zu ermitteln. Das ohmsche Gesetz ist keine mathematische Konstruktion, es basiert auf den empirischen Erkenntnissen von George Simon Ohm.

Heute können wir seine Experimente leicht nachvollziehen. Das liegt daran, dass wir alle erforderlichen Werkzeuge zur Hand haben. Zu der Zeit, in der Ohm lebte, gab es keine guten Werkzeuge zur Messung von Strom und Spannung. Seine Ergebnisse waren ein echter Durchbruch, obwohl die Relevanz seiner Erkenntnisse nicht sofort akzeptiert wurde.

Schauen wir uns an, was Ohm herausgefunden hat. Dazu brauchen wir eine einfache Schaltung, in der wir Strom und Spannung messen. Die einzigen anderen Komponenten, die wir brauchen, sind eine regelbare Spannungsquelle und einen Widerstand. Die Schaltung ist unten abgebildet. Ich habe für meine Messungen einen 51 Ω Widerstand mit einer Nennleistung von 1 W verwendet. Wenn du nur Standardwiderstände hast, solltest du stattdessen einen 100 Ω Widerstand verwenden, um seine Nennleistung nicht zu überschreiten.

Ich erhöhe nun die Spannung Schritt für Schritt. Ich beginne bei 0 V und erhöhe die Spannung dann in 1-V-Schritten auf 5 V. Für jede dieser Spannungen habe ich den Strom gemessen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Wenn wir diese Daten grafisch darstellen, erhalten wir eine fast perfekte Gerade, die bei (0 | 0) beginnt. Das ist im Wesentlichen das, was Ohm entdeckt hat. Der Strom steigt proportional zur angelegten Spannung an.

Anstatt von einer geraden Linie zu sprechen, können wir es mit anderen Worten ausdrücken und sagen, dass wir eine Funktion mit einer festen Steigung haben. Wir können diese Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks ermitteln. Probieren wir es mit 5 V und einem Strom von 98 mA:
\({5 V \over 0,098 A} = 51,02 {V \over A}\)

Wir können auch einen anderen Wert wie 1 V und den entsprechenden Strom von 19 mA wählen:
\({1 V \over 0,019 A} = 52,63 {V \over A}\)

Wie man sieht, ist der Quotient aus Spannung und Strom (die Steigung unserer Geraden) ungefähr konstant, auch wenn esaufgrund der Ungenauigkeit unserer Messungen geringfügige Abweichung zwischen beiden Werten gibt. Genau das sagt das ohmsche Gesetz: Der Quotient aus Spannung und Strom ist ein konstanter Wert.
\({ U \over I } = const\)

Vielleicht ist dir bereits etwas Seltsames aufgefallen: Der Wert des Quotienten ist ungefähr \(51 {V \over A}\), was dem Wert des von uns verwendeten Widerstandes entspricht. Dies ist kein Zufall, sondern die Definition des Widerstands. Dieser Quotient ist das, was mathematisch gesehen Widerstand ist. Alle anderen Werte für die Leitfähigkeit und den spezifischen Widerstand von Materialien werden auf der Grundlage dieser Definition berechnet.

\(R = { U \over I }\)

Die Einheit Ohm ist gleichbedeutend mit Volt pro Ampere: \(1 Ω = 1 {V \over A}\)
Die Spannung \(U\) in dieser Formel ist der Spannungsabfall über dem Widerstand. Da wir nur einen Widerstand in unserer Schaltung haben, ist dieser Spannungsabfall identisch mit der eingestellten Spannung. Die gesamte Spannung fällt über diesem einen Bauteil ab. Wenn wir jedoch mehrere Komponenten in unserer Schaltung haben, müssen wir etwas vorsichtiger sein und nur den Spannungsabfall über dem Bauteil messen, dessen Widerstand wir berechnen wollen.

Nun, da wir eine Formel haben, die den Zusammenhang zwischen Widerstand, Spannung und Strom beschreibt, können wir diese beim Entwurf unserer Schaltungen verwenden. Hier ist ein Beispiel. Wenn wir eine 9-V-Batterie verwenden und einen Strom von 20 mA erreichen wollen, können wir jetzt den Widerstand berechnen, den wir dazu benötigen:
\(U = 9 V\)
\(I = 20 mA = 0,02 A\)
\(R = {U \over I} = {{9 V} \over {0.2 A}} = 450 Ω\)

Da dieser Widerstandswert kein Standardwert ist, müssten wir stattdessen auf einen 470 Ω Widerstand ausweichen. Fühl dich frei, die Schaltung aufzubauen und zu überprüfen, ob das Ergebnis korrekt ist.

Wir können die Formel auch umformen, um zum Beispiel den Strom zu berechnen, den wir mit einer 9-V-Batterie und einem Widerstand von 1 Ω erhalten.
\(U = 9 V\)
\(R= 1 Ω\)
\(I = {U \over R} = {{9 V} \over {1 Ω}} = 9 A\)

So viel? Ja, in der Tat, die Berechnung ist korrekt, und deshalb müssen wir mit kleinen Widerständen vorsichtig sein. Bei kleinen Widerstandswerten erhalten wir schnell hohe Ströme. Im Extremfall eines Kurzschlusses haben wir nur den sehr kleinen Widerstand unseres Drahtes, infolgedessen erhalten wir einen sehr hohen Strom - zumindest wenn unsere Stromquelle in der Lage ist, solch hohe Ströme zu liefern.

Nennleistung und kleine Widerstände

Da wir bei kleinen Widerstandswerten sehr hohe Ströme erhalten, müssen wir mit ihnen vorsichtig umgehen. Im letzten Tutorial haben wir gelernt, dass Widerstände einen Teil der elektrischen Energie in Wärme umwandeln. Wenn zu viel Wärme erzeugt wird und die Nennleistung des Widerstandes überschritten wird, kann er in Brand geraten. Schauen wir uns unser Beispiel an und berechnen die Energiemenge pro Sekunde, die in Wärme umgewandelt wird:
\(P_{Verlust} = I^2 * R = (9 A)^2 * 1 Ω = 81 W\)

Wenn wir einen Widerstand mit einer Nennleistung von 0,25 W verwenden, wird er mit Sicherheit zerstört. Aus beiden Formeln, dem ohmschen Gesetz und dieser hier, können wir ableiten, dass, wenn wir unseren Widerstandswert bei einer festen Spannung halbieren, sich gleichzeitig die Energiemenge verdoppelt, die in jeder Sekunde in Wärme umgewandelt wird. Ich sage es deshalb noch einmal: Sei vorsichtig bei hohen Strömen und kleinen Widerstandswerten.

Die Grenzen des ohmschen Gesetzes

In der Praxis folgen nicht alle elektrischen Bauteile dem ohmschen Gesetz. Versteh mich nicht falsch, der Widerstand wird immer noch nach der Formel berechnet, die wir heute gelernt haben. Der Punkt ist, dass nicht alle Komponenten einen festen Widerstand haben. Für diese Komponenten ist der Quotient \(U \over I\) keine Konstante. Prominente Beispiele dafür sind alle Halbleiterbauelemente, auch LEDs. Wenn man wirklich genau sein will, dann gilt das Ohm'sche Gesetz nicht einmal in vollem Umfang für Widerstände. Wie wir wissen, erwärmen sich diese, wenn ein höherer Strom durch sie hindurchfließt. Die höhere Temperatur wirkt sich auf ihren Widerstandswert aus. In den meisten Anwendungsfällen ist dieser Effekt jedoch nicht von Bedeutung.