Wir haben viel über Spannungsteiler und Widerstand gesprochen, aber wie können wir Widerstand eigentlich messen?
Widerstandsmessung
Bis jetzt haben wir den Widerstand immer mit einem Multimeter gemessen. Um widerstandsbasierte Sensoren wie NTCs (Temperatur) oder LDRs (Licht) zu verwenden, benötigen wir eine Möglichkeit, den Widerstand mit Mikrocontrollern wie unserem Arduino Uno zu messen. Es gibt mehr als eine mögliche Methode, dies zu tun, aber in diesem Tutorial konzentrieren wir uns auf die Widerstandsmessung mit einem Spannungsteiler. Indem wir einen der Widerstände im Spannungsteiler durch den Sensor ersetzen, erhalten wir eine Ausgangsspannung, die vom Widerstand des Sensors abhängig ist. Diese Spannung können wir dann mit einem ADC (Analog-Digital-Wandler) messen. Diese Methode kann auch für Schaltungen ohne Mikrocontroller verwendet werden, z. B. in Verbindung mit Komparatoren oder jeder anderen Schaltung, die auf die Spannungsänderung reagiert.
Spannungsteiler für die Widerstandsmessung
Für unsere Messungen verwenden wir eine klassische Spannungsteilerschaltung. Ein Widerstandswert ist bekannt und ändert sich nicht. Der zweite Widerstand ist unser Sensor. In der Beispielschaltung unten habe ich ein Potentiometer als variablen Widerstand verwendet.
Diese Schaltung hat keinen Vorteil gegenüber der direkten Verwendung des Potentiometers als Spannungsteiler, wie es im letzten Tutorial gezeigt wurde. Die Schaltung ist nicht wirklich clever, wie wir am Ende dieses Tutorials sehen werden. Wenn du in deinen Projekten ein Potentiometer verwenden willst, verwende es einfach so, wie es verwendet werden soll.
Stell dir das Potentiometer als Platzhalter für andere widerstandsbasierte Sensoren vor. Wie der Widerstand dieser Sensoren ist auch der Widerstand unseres Potentiometers variabel. Im Falle eines Potentiometers ändert er sich entsprechend der Position des Schleifers. Im Falle der Sensoren ändert er sich mit der Temperatur oder der Lichtintensität.
Unabhängig von der konkreten Anwendung ist es unser Ziel, den unbekannten Widerstand auf der Basis der gemessenen Spannung zu ermitteln.
Wir können ihn mit der Spannungsteilerformel berechnen:
\({U_{out} \over U_{in}} = {R_2 \over {R_1+R_2}}\)
Da \(R_1\) der unbekannte Widerstand in unserer Beispielschaltung ist, müssen wir die Gleichung für \(R_1\) lösen:
\(R_1+R_2 = R_2 \cdot {U_{in} \over U_{out}}\)
\(R_1 = R_2 \cdot {U_{in} \over U_{out}} - R_2\)
\(R_1 = R_2 \cdot ({U_{in} \over U_{out}} - 1)\)
Wenn R2 der unbekannte Widerstand ist, würden wir stattdessen die Gleichung für \(R_2\) lösen:
\(R_2 = {R_1 \over {{U_{in} \over U_{out}} - 1}}\)
Nehmen wir an, wir messen \(V_{out} = 2 V\) und unsere Eingangsspannung \(V_{in}\) beträgt 5 V, was der Betriebsspannung des Arduino Uno entspricht.
\(R_2\) ist entsprechend dem Schaltplan 5,6 kΩ.
Lass uns nun \(R_1\) berechnen:
\(R_1 = R_2 \cdot ({U_{in} \over U_{out}} - 1) = 5,6 kΩ \cdot ({5 V \over 2 V} - 1) = 8,4 kΩ\)
Im Falle eines widerstandsbasierten Sensors können wir dann den Widerstand verwenden, um den tatsächlichen Messwert zu berechnen, z.B. in Grad Celsius im Falle eines Temperatursensors. Eine Umrechnungsformel, Tabelle oder Grafik ist normalerweise im Datenblatt des Sensors zu finden. In den nächsten Tutorials werden wir uns näher mit temperaturabhängigen Widerständen, auch Thermistoren genannt, beschäftigen.
Linearität und Empfindlichkeit
Es sind noch einige Fragen offen: Wie wählt man den Wert des zweiten Widerstandes und warum habe ich gesagt, dass es nicht klug ist, ein Potentiometer wie in der Beispielschaltung zu verwenden? In gewisser Weise gehören beide Fragen zusammen. Die kurze Antwort auf die erste Frage: Nimm einen Widerstand, der dem erwarteten Sensorwiderstand entspricht. In unserem Fall haben wir ein 10 kΩ Potentiometer als variablen Widerstand verwendet, was bedeutet, dass wir Widerstände von 0 kΩ bis 10 kΩ erhalten. Der mittlere Widerstandswert beträgt 5 kΩ. Aus diesem Grund habe ich einen 5,6 kΩ Widerstand für \(R_2\) verwendet. Aber warum dieser Widerstand und nicht ein vollkommen anderer?
Wenn wir ein Potentiometer als Spannungsteiler verwenden, erhalten wir einen schönen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Widerstand. Dies gilt auch für Potentiometer mit logarithmischem Kennlinienverlauf. Der Unterschied zwischen linearen und logarithmischen Potentiometern besteht darin, dass bei logarithmischen Potentiometern das Widerstandsmaterial ungleichmäßig verteilt ist und somit der Zusammenhang zwischen Schleiferposition und Widerstand nicht linear ist. Der Zusammenhang zwischen Widerstand und Spannung ist nach wie vor linear. Wenn wir uns die Spannungsteilerformel ansehen und darüber nachdenken, wie Potentiometer aufgebaut sind, können wir sehen, warum.
Der Grund liegt in der Tatsache, dass der Gesamtwiderstand der Widerstandsbahn unveränderlich ist. \(R_1+R_2\), die Summe der Widerstände des Widerstandsmaterials auf der linken und rechten Seite des Schleifers, ist eine Konstante.Für eine konstante Eingangsspannung \(U_{in}\) können wir die Spannungsteilerformel vereinfachen:
\(R_2 \cdot c = U_{out}\)
Wir können sehen, dass sich die Ausgangsspannung proportional zum Widerstand \(R_2\) verhält. Es handelt sich um einen rein linearen Zusammenhang. Die Konstante \(c\) kann wie folgt berechnet werden:
\(c = {U_{in} \over {R_1+R_2}}\)
In unserem Schaltkreis zur Widerstandsmessung ist dies nicht der Fall. Die Summe \({R_1+R_2}\) ändert sich, da sich nur \(R_1\) ändert. Die Folge ist, dass wir nun einen nicht linearen Zusammenhang zwischen der Ausgangsspannung und dem Widerstand erhalten. Die genaue Kennlinie hängt vom Widerstandsbereich unseres Sensors und dem Wert ab, den wir für \(R_2\) gewählt haben. Unten kannst du dir die Kennlinie für unsere Beispielschaltung ansehen. Spiel ein wenig mit den Parametern herum, um zu sehen, wie sich die Wahl von \(R_2\) auf die Spannungswerte auswirkt.
In Bereichen, in denen die Kurve flach ist, werden wir Probleme bekommen, wenn wir zwischen nahe beieinander liegenden Widerstandswerten unterscheiden wollen, da sie alle ungefähr die gleiche Ausgangsspannung erzeugen. In Bereichen, in denen die Kurve steil ist, ist dies dagegen eine einfache Aufgabe. Je nach Widerstandskonfiguration sind wir zudem nicht in der Lage, den gesamten Spannungsbereich zu nutzen.
Möglicherweise hast du bemerkt, dass aus der Kurve mehr oder weniger eine gerade Linie wird, wenn du einen großen Wert für \(R_2\) wählst. Wir können so die Linearität erhöhen. Eine höhere Linearität ist wünschenswert, weil wir dadurch alle Widerstandswerte in unserem Messbereich mit etwa gleicher Genauigkeit messen können. Dabei gibt es jedoch ein Problem: Wir erreichen zwar eine hohe Linearität, aber wir können nur einen kleinen Spannungsbereich verwenden. Das hat zur Folge, dass wir eine geringe Empfindlichkeit (Spannungsänderung pro Widerstandsänderung) haben und es somit sehr viel schwieriger wird, kleine Widerstandsänderungen zu erkennen.
Die ADCs in Mikrocontrollern haben nur eine begrenzte Genauigkeit. Wenn wir nicht den kompletten Spannungsbereich des ADCs für unsere Messungen nutzen, erhalten wir über den gesamten Messbereich ungenauere Messungen. Um es kurz zu machen: Die maximale Empfindlichkeit erhält man, wenn \(R_2\) dem Widerstand des Sensors entspricht.
Normalerweise entscheiden wir uns für eine maximale Empfindlichkeit und nicht für Linearität. Bei Mikrocontrollern haben wir die Möglichkeit, den korrekten Widerstandswert in Software zu berechnen, auch wenn die Kurve nicht linear ist. Häufig ist auch die Widerstandskurve des Sensors nicht linear. Wir müssen eine gewisse Nichtlinearität akzeptieren. Wenn unsere Gesamtempfindlichkeit nicht zu schlecht ist, werden wir immer noch anständige Ergebnisse erhalten. Manchmal haben wir auch Glück: Bei NTCs kompensieren sich die Nichtlinearität des Sensors und des Spannungsteilers bis zu einem gewissen Grad gegenseitig.
Damit kennst du die Antwort auf die Frage, warum wir einen 5,6 kΩ Widerstand verwendet haben. Wir wissen nun auch die Antwort auf die Frage, warum es nicht klug ist, ein Potentiometer so zu verwenden, wie wir es in dieser Schaltung getan haben. Mit der normalen Potentiometerschaltung erhalten wir eine schöne lineare Kennlinie, während wir uns bei dieser Schaltung über Linearität und Empfindlichkeit Gedanken machen müssen.
