Widerstandskombinationen

Wie sich Widerstand, Strom und Spannung bei einzelnen Widerständen verhalten, wissen wir nun, aber was ist mit Widerstandskombinationen?

Widerstandskombinationen

In der Praxis enthalten die meisten Schaltungen mehr als einen Widerstand. Wie verhalten sich Widerstand, Strom und Spannung in komplexeren Schaltungen? Werfen wir zunächst einen Blick auf die grundlegenden Widerstandskombinationen, die wir mit zwei Widerständen herstellen können. Am Ende dieses Tutorials werden wir uns dann ein komplexeres Beispiel mit mehr als zwei Widerständen anschauen. Natürlich gibt es auch Schaltungen mit mehr als nur Widerständen, aber das würde den Rahmen dieses Tutorials sprengen.

Reihenschaltung von Widerständen

Unsere erste einfache Widerstandskombination besteht aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen. Die Frage ist, was genau geschieht. Was ist ihr kombinierter Widerstand und wie verhalten sich Strom und Spannung?

Erinnerst du dich an das Experiment, bei dem wir den Widerstand einer Bleistiftmine zuerst berechnet und dann gemessen haben? Meine Bleistiftmine war 17,5 cm lang. Was würde passieren, wenn ich eine Säge benutze und den Bleistift in zwei Teile zersägen würde? Sagen wir ein Teil mit einer Länge von 10 cm und eins mit einer Länge von 7,5 cm. Wenn wir beide Teile zusammenfügen, also in Reihe schalten, würden wir erwarten, dass sie zusammen den gleichen Widerstand haben wie die Bleistiftmine in voller Länge. Aber ist das richtig? Und was ist der Widerstand unserer beiden Einzelteile?

Werfen wir einen Blick auf die Formeln. Zunächst haben wir die beiden Längen unserer Bleistiftminenteile:
\(l_1 = 10 cm\)
\(l_2 = 7,5 cm\)

Mit diesen beiden Längen, dem spezifischen Widerstand \(\rho\) und dem Querschnitt \(A\) unserer Bleistiftmine können wir den Widerstand für beide Teile berechnen. Ich werde das hier nicht tun, sondern nur die Formeln angeben:
\(R_1 = {{p \cdot l_1} \over A}\) and \(R_2 = {{p \cdot l_2} \over A}\)

Wie hängen diese beiden Widerstände mit dem Widerstand der vollständigen Bleistiftmine zusammen? Lass mich es dir zeigen, indem ich die Formel für den gemeinsamen Widerstand beider Teile umforme:
\(l = l_1 + l_2\)
\(R = {{p \cdot l} \over A} = {{p \cdot (l_1 + l_2)} \over A} = (l_1 + l_2) \cdot {p \over A} = l_1 \cdot {p \over A} + l_2 \cdot {p \over A} = R_1 + R_2\)

Wir wissen jetzt, dass sich der Widerstand beider Teile zu dem der Bleistiftmine in voller Länge aufsummiert. Für beide Teile in Reihe erhalten wir tatsächlich den gleichen Widerstand, den wir für die gesamte Bleistiftmine ermittelt haben. Die Frage ist, ob dies auch für beliebige Widerstände gilt. Im Falle unserer Bleistiftmine haben beide Teile den gleichen Querschnitt und den gleichen spezifischen Widerstand. Was ist mit anderen Widerständen? Nun, wenn wir wollen, könnten wir einen beliebigen Widerstand durch eine Bleistiftmine mit unserem Querschnitt und spezifischen Widerstand ersetzen. Wir müssten nur die Länge so anpassen, dass sie dem Widerstandswert des Widerstandes entspricht, den wir ersetzen wollen. Für diesen Bleistiftminen-Widerstand gilt natürlich unsere Formel. Daraus folgt, dass unsere Formel für jeden beliebigen Widerstand gilt.

Wir könnten unseren Bleistift auch in mehr als zwei Teile teilen. Am Ende würden wir zum gleichen Ergebnis kommen: Der gemeinsame Widerstand mehrerer in Reihe geschalteter Widerstände ist die Summe der Einzelwiderstände. Die allgemeine Formel für in Reihe geschaltete Widerstände lautet:
\(R = R_1 + R_2 + R_3 + ...\)

Eine weitere wichtige Frage ist, wie sich Strom und Spannung bei in Reihe geschalteten Widerständen verhalten. Mit unserer Formel können wir den Gesamtwiderstand berechnen. Mit diesem Gesamtwiderstand und unserer Batteriespannung können wir den Strom berechnen. Da es nur einen Pfad gibt und Elektronen weder erzeugt noch verbraucht werden, muss dieser Strom für alle Widerstände gleich sein. Folglich können wir einfach das ohmsche Gesetz, den gemeinsamen Strom und die einzelnen Widerstandswerte verwenden, um den Spannungsabfall über den einzelnen Widerständen zu berechnen.

Sehen wir uns ein Beispiel an:

Zuerst berechnen wir unseren Gesamtwiderstand:
\(R_1 = 100 Ω\)
\(R_2 = 1 kΩ\)
\(R = R_1 + R_2 = 100 Ω + 1 kΩ = 1,1 kΩ\)

Als Nächstes berechnen wir den gemeinsamen Strom, der durch alle Widerstände fließt:
\(U = 9 V\)
\(I = {U \over R} = {{9 V} \over {1,1 kΩ}} = 8,18 mA\)

Und als letzten Schritt können wir schließlich den Spannungsabfall über jedem der Widerstände berechnen:
\(U_1 = R_1 \cdot I = 100 Ω \cdot 8,18 mA = 0,82 V\)
\(U_2 = R_2 \cdot I = 1 kΩ \cdot 8,18 mA = 8,18 V\)

Wie du sehen kannst, wird die Gesamtspannung auf die Widerstände aufgeteilt. Beide Spannungsabfälle summieren sich zu unserer Gesamtspannung von 9V auf. Ein Anwendungsfall von in Reihe geschalteten Widerständen sind Spannungsteiler, bei denen wir uns diese Tatsache zunutze machen. Wir werden sie im nächsten Tutorial näher betrachten.

Parallelschaltung von Widerständen

Die zweite einfache Widerstandskombination besteht aus zwei parallel geschalteten Widerständen:

Vielleicht kennst du das Sprichwort, dass er Strom immer den Weg des geringsten Widerstands nimmt. Das stimmt aber nicht, jedenfalls nicht, wenn man es auf so einfache Weise auf unsere Widerstandskombination anwenden will. Elektronen haben keinen Wegfindungsalgorithmus. Da Elektronen sich gegenseitig abstoßen, werden sie sich immer im gesamten leitenden Material verteilen. Natürlich gibt es auch die Wechselwirkung mit den Atomen im leitenden Material. Nicht alle Wege sind gleich leitfähig. Nach dem ohmschen Gesetz fließt weniger Strom über Wege mit einem höheren Widerstand und mehr über Wege mit geringerem Widerstand. Das Ergebnis ist jedoch nicht die ausschließliche Verwendung des Weges mit dem geringsten Widerstand, sondern die gleichzeitige Verwendung aller Wege. Der Elektronenfluss teilt sich auf die verschiedenen Wege auf.

Wenn wir unser Bleistiftminen-Beispiel und die Widerstandsformel betrachten, können wir sehen, dass der Gesamtwiderstand von zwei parallel geschalteten Widerständen geringer ist als der Widerstand der einzelnen Widerstände. Wenn wir die zweite Bleistiftmine parallel hinzufügen, fügen wir mehr leitfähiges Material hinzu und schaffen einen zusätzlichen Pfad, durch den der Strom fließen kann. Betrachtet man die Widerstandsformel, vergrößern wir den Querschnitt. Mal sehen, ob wir für parallel geschaltete Widerstände ebenso eine Formel herleiten können wie für in Reihe geschaltete Widerstände.

Unser Gesamtquerschnitt ist nun die Summe der Querschnitte beider Bleistiftminen:
\(A = A_1 + A_2\)

Wir erhalten außerdem die beiden folgenden Gleichungen für die Widerstandswerte unserer Bleistiftminen:
\(R_1 = {{p \cdot l} \over A_1}\)
\(R_2 = {{p \cdot l} \over A_2}\)

Und nun werfen wir erneut einen Blick auf die Formel für den gemeinsamen Widerstand und schreiben sie für unsere Bedürfnisse um:
\(R = {{p \cdot l} \over {A_1 + A_2}} = {1 \over {{A_1 + A_2} \over {p \cdot l}}} = {1 \over {{A_1 \over {p \cdot l}} + {A_2 \over {p \cdot l}}}} = {1 \over {{1 \over R_1} + {1 \over R_2}}}\)

Ja, diese schrecklich aussehende Formel ist in der Tat die Formel für den kombinierten Widerstand, und mit der gleichen Argumentation, die wir für die in Reihe geschalteten Widerstände verwendet haben, können wir sagen, dass dies für beliebige Widerstände gilt. Wir können diese Formel ebenfalls für mehr als zwei Widerstände erweitern:
\(R = {1 \over {{1 \over R_1} + {1 \over R_2} + {1 \over R_3} + ...}}\)

Was ist mit Strom und Spannung? Wir wissen, dass an beiden Widerständen die gleiche Spannung anliegt. Die Berechnung des Stroms, der durch jeden Widerstand fließt, ist diesmal ganz einfach. Wir verwenden einfach das ohmsche Gesetz:
\(I_1 = {U \over R_1}\)
\(I_2 = {U \over R_2}\)

Wir können ebenfalls das ohmsche Gesetz verwenden, um den Strom für den Gesamtwiderstand zu berechnen. Das berechnete Ergebnis ist gleich der Summe der einzelnen Ströme, die durch die beiden Widerstände fließen.

Sehen wir uns ein Beispiel an:

Für unseren gemeinsamen Widerstand erhalten wir:
\(R_1 = 100 Ω\)
\(R_2 = 1 kΩ\)
\(R = {1 \over {{1 \over R_1} + {1 \over R_2}}} = {1 \over {{1 \over 100 Ω} + {1 \over 1 kΩ}}} = {1 \over {{0,01 {1 \over Ω}} + {0,001 {1 \over Ω}}}} = {1 \over 0,011} Ω = 90,91 Ω\)

Der Gesamtstrom, der aus unserer Batterie fließt, ist:
\(U = 9 V\)
\(I = {U \over R} = {{9 V} \over {90,91 Ω}} = 99,00 mA\)

Von diesem Strom fließen die folgenden Teile durch die jeweiligen Widerstände: \(I_1 = {U \over R_1} = {{9 V} \over {100 Ω}} = 90 mA\)
\(I_2 = {U \over R_2} = {{9 V} \over {1 kΩ}} = 9 mA\)

Für in Reihe geschaltete Widerstände gab es den Anwendungsfall des Spannungsteilers, aber was ist der Sinn von zwei parallel geschalteten Widerständen? Warum nicht ein einziger Widerstand?

Ein möglicher Einsatzzweck ist die Realisierung eines Widerstandes mit einem untypischen Wert unter Verwendung mehrerer Standardwiderstände. Es gibt jedoch auch noch einen weiteren Anwendungszweck. Werfen wir einen Blick auf die Verlustleistung der beiden Widerstände:
\(P = I^2 \cdot R = (99 mA) ^ 2 \cdot 90,91 Ω = 0,891 W\)
\(P_1 = I_1^2 \cdot R_1 = (90 mA) ^ 2 \cdot 100 Ω = 0,81 W\)
\(P_2 = I_2^2 \cdot R_2 = (9 mA) ^ 2 \cdot 1 kΩ = 0,081 W\)

Wie man sieht, wird die Verlustleistung auch auf die Widerstände aufgeteilt. Die einzelnen Werte addieren sich zur Gesamtverlustleistung. Das bedeutet, dass wir mehrere Widerstände mit einer niedrigen Nennleistung zusammen verwenden können, um einen Widerstand mit einer höheren Nennleistung zu bilden. Wir könnten zum Beispiel zehn 1 kΩ Widerstände mit einer Nennleistung von 0,25 W parallel schalten. Für unseren Gesamtwiderstand erhalten wir:
\(R = {1 \over {10 \over {1 kΩ}}} = {1 \over 0,01} Ω = 100 Ω\)

Diese Widerstandskombination kann jedoch bis zu einer Verlustleistung von 2,5 W eingesetzt werden. Das ist gut zu wissen, wenn man mal einen Hochleistungswiderstand benötigt. Die Berechnung ist natürlich nur deshalb so einfach, weil alle Widerstände einen gemeinsamen Wert haben. Wenn dies nicht der Fall ist, müssen Sie vorsichtiger sein. In diesem Fall wird die Last nicht gleichmäßig verteilt, sondern der Widerstand mit dem kleinsten Wert muss den höchsten Strom und die größte Verlustleistung verkraften können.

Komplexere Kombinationen

Bisher haben wir nur einfache Widerstandskombinationen betrachtet. Was ist mit komplexeren? Hierfür habe ich ein weiteres Beispiel vorbereitet:

Wie können wir den Gesamtwiderstand berechnen? Die Lösung besteht darin, das Problem in mehrere einfachere zu unterteilen. Wir tun dies, indem wir mehrere Widerstände in Reihenschaltung und Parallelschaltung identifizieren. Dann ersetzen wir sie in Gedanken Schritt für Schritt durch einen Widerstand mit einem äquivalenten Widerstandswert. In unserem Beispiel können wir leicht erkennen, dass \(R_2\) und \(R_3\) parallelgeschaltet sind. Ihr kombinierter Widerstand ist:
\(R_{23} = {1 \over {{1 \over R_2} + {1 \over R_3}}} = {1 \over {{1 \over {360 Ω}} + {1 \over {360 Ω}}}} = {1 \over {{2 \over {360 Ω}}}} = 180 Ω\)

Im nächsten Schritt berechnen wir den kombinierten Widerstand für \(R_{23}\) und \(R_4\), wobei \(R_{23}\) und \(R_4\) in Reihe verwendet werden:
\(R_{234} = R_{23} + R_4 = 180 Ω + 39 kΩ = 39,18 kΩ\)

Zu letzt können wir den Gesamtwiderstand aller Widerstände berechnen:
\(R = {1 \over {{1 \over R_1} + {1 \over R_{234}}}} = {1 \over {{1 \over 100 kΩ} + {1 \over 39,18 kΩ}}} = 28,15 kΩ\)

Mal sehen, ob es stimmt! Das Bild unten zeigt den gemessenen Wert. Er entspricht unserem errechneten Wert innerhalb der vorgegebenen Toleranz von 5 %.

Wie bei unseren einfachen Kombinationen können wir auch bei dieser komplexen Kombination die Spannungen und Ströme berechnen. Auch hier gehen wir wieder Schritt für Schritt vor.

Die Spannung unserer Batterien beträgt 9 V. Diese Spannung liegt sowohl an \(R_1\) als auch an \(R_{234}\) an. Berechnen wir zunächst den Gesamtstrom und den für beide Pfade:
\(U = U_1 = U_{234} = 9V\)
\(I = {U \over R} = {{9 V} \over {28,15 kΩ}} = 0,32 mA\)
\(I_1 = {U_1 \over R_1} = {{9 V} \over {100 kΩ}} = 0,09 mA\)
\(I_{234} = {U_{234} \over R_{234}} = {{9 V} \over {39,18 kΩ}} = 0,23 mA\)

Der Strom \(I_{234}\) fließt sowohl durch den Widerstand \(R_4\) als auch durch \(R_{23}\). Mit diesem Ergebnis können wir den Spannungsabfall über \(R_4\) und \(R_{23}\) berechnen:
\(I_4 = I_{23} = I_{234} = 0,32 mA\)
\(U_{23} = R_{23} \cdot I_{23} = 180 Ω \cdot 0,23 mA = 0,04 V\)
\(U_4 = R_{4} \cdot I_{4} = 39 kΩ \cdot 0,23 mA =8,97 V\)

Da \(R_2\) und \(R_3\) den gleichen Widerstand haben, wissen wir, dass sich der Strom zu gleichen Teilen zwischen ihnen aufteilt:
\(I_2 = I_3 = {0,23 mA \over 2} = 0,12 mA\)
\(U_2 = U_3 = U_{23} = 0,04 V\)

Das Bild unten zeigt unsere Endergebnisse: